用开方术解决实际问题，包括列出开方式和开方术两方面的内容。上节介绍了开方术，现在来谈开方式造术。宋元时代，开方式造术发展成为一种专门的学问，叫做天元术。后来又发展出二元术、三元术与四元术。

在第五节，我们已经看到了刘徽怎样从实际问题中抽象出二次方程的。唐王孝通列出了更复杂的方程。如《缉古算经》第15问，已知勾股相乘幂ab=706(1/50)，弦多于勾c-a=36(9/10)，求勾a、股b、弦c。他的术文是关于勾a的开方式：a3+½(c-a)a2=½(ab)2/(c-a)。自注的列开方式的思路是：

(ab)2=a2b2，

½(ab)2/(c-a)=½a2b2/(c-a)=½a2(c2-a2)/(c-a)=½a2(c+a)=a2［a+½(c-a)］=a3+½(c-a)a2

但是，怎样想到由½(ab)2/(c-a)开始变换，是个十分技巧的问题。不过，从刘徽到王孝通，其共同的方法是将两数相乘看成面积，三数相乘看成体积，通过出入相补原理解决。这种方法在宋朝发展为演段法，它实际上是通过等积变换列出方程的方法。在这里，未知量与已知量一样投入图形变换和数量运算。问题在于，对未知数没有统一的符号，显得繁琐。天元术以一个符号“天元一”表示未知数，通过天元多项式的运算相消，列出开方式，开方式造术有了规范的程序。

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