圆周率的计算及用十进分数(微数)逼近无理根实际上是极限思想在近似计算中的应用。刘徽还把这一思想用于弧田面积的计算。他首先证明了《九章算术》的弧田面积计算公式不准确,进而提出了求弧田密率的方法:他用勾股锯圆材的方法求出弧田所在的圆的直径,再利用类似于割圆的程序,将弧分成2、4、……,“割之又割,使至极细”,这就用一串小三角形面积之和逼近弧田面积。他又用勾股定理求出与上述小三角形相应的一串小弧田的弦、矢,即这串小三角形的底与高,“但举弦矢相乘之数,则必近密率矣。”用这种方法,可以把弧田面积精确到所需要的程度(如图36)。
图36 弧田密率
《九章算术》和后来的数学家只考虑弧田面积,未讨论过弧长的问题。北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中创造了会圆术,提出了求弧长的近似公式(见图37):l=c+v2/d
其中d为弧所在的圆径,c、v仍是弧田的弦、矢。后来郭守敬、王恂制定《授时历》,多次使用了会圆术。
图37 会圆术
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