在发现巨大素数、解阿基米德牛群问题、破译密码、证明四色地图定理以及发现新图形等问题上，计算机证明对数学家是有用的。然而在计算机能做些什么问题上，却还有难以捉摸的限制。

自20世纪30年代起，数学就面临着一场革命，如同物理学的两次革命——广义相对论与量子力学——一样重要，这两次革命动摇了物理学的基础，并且推翻了关于空间、时间与因果律的经典理论。数学的前景展望也由于美国纽约大学的莫里斯·克林提出了“必然的损失”的说法而完全改观。一种崭新的工作已不再注重于数学计算的能力，而是注重于计算的限制。有意义的计算问题被规定为原理上不能解的，或在原理上能解而实际上无法解的问题。

一个从原理上不能解的有意义的典型问题就是“停机问题”，它是艾伦·马西森·图灵于1936年提出的。图灵想到了计算机程序是否迟早会提供结果和停机的问题。停机问题已不仅是纸上谈兵的理论家所关心的问题，而且是很容易在实践中出现的问题。

美国麻省理工学院计算机科学理论学家迈克尔·锡普塞说道：“你可以想象，当你把程序编入卡片，然后提交给计算机中心时，尤其是在这几天里，你是多么想知道答案。他们总是整夜地进行运算，第二天就送回给你。比方说，你有一笔100美元的钱存在机内。有时，计算机程序会有一个无限的循环，而且会耗掉许多钱。由于它会陷入无限的循环，因此你从程序上得不到任何东西。不论是你帐上的钱都已耗费完，还是计算机以何种方式注意到机器运行了很长时间，计算机自己停了机。

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