《九章》勾股章提出了若干已知勾股形三边中二者的和差等因素，求其边长的例题。赵爽、刘徽、贾宪先后作了进一步的发展，提出了一般性的公式及其证明。

国内外流行的印度莲花问题实际上是《九章》“引葭赴岸”题的改写。此题是：有一水池，方1丈，一株葭〔jia佳，初生的芦苇〕生在中央，高出水面1尺，引葭赴岸，恰恰与岸边相齐。问水深、葭长各多少？如图15，刘徽指出，水池边长的一半为勾a，水深为股b，葭长为弦c，葭高于水面者是弦股差c-b，这是已知勾与弦股差，求股、弦的问题：

b=［a2-(c-b)2］/［2(c-b)］，

c=(c-b)+b。

图15 引葭赴岸

图16 竹高折地

1989年语文高考试卷有一古文今译题便采自《九章》勾股章“竹高折地”问：今有一株竹高1丈，被折断，末梢抵地，抵地处距竹根3尺，问剩余高多少？如图16，刘徽指出，抵地处至竹根距离是勾a，剩余的高是股b，折断部分是弦c，则竹高就是股弦和c+b，此是已知勾与股弦和，求股的问题：b=［(c+b)2-a2］/［2(c+b)］。

这两类题目互相返覆，刘徽以出入相补原理证明之。

有一门户，高比宽多6尺8寸，两角相距1丈。问此门户高、宽各多少？刘徽认为，将户宽作为勾a，高为股b，两角相距为弦c，那么这是一个已知弦c与股勾差b-a，求勾、股的问题。《九章》的解法经刘徽改写成

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